z1z2是不为零的复数,在复平面上分别对应点P和Q,且4Z1^2-2Z1Z2+Z2^2=0,证明△OPQ为直角三角形还要求两锐角度数

Question

z1 z2是不为零的复数,在复平面上分别对应点P和Q,且4Z1^2-2Z1Z2+Z2^2=0,证明△OPQ为直角三角形
还要求两锐角度数

Answer 1

4Z1^2-2Z1Z2+Z2^2=0
可得(Z1 - Z2)^2 = - 3Z1^2
所以|Z1 - Z2| = sqrt(3)|Z1|
也可得(Z2/Z1)^2 - 2Z2/Z1 + 4 = 0
解出Z2/Z1 = 1±sqrt(3)i
所以|Z2/Z1| = 2,即|Z2| = 2|Z1|
综上,有|Z1|^2 + |Z1 - Z2|^2 = |Z2|^2,也就是OP^2 + PQ^2 = OQ^2
所以△OPQ是直角三角形,P是直角
复数相除,就是模相除,辐角相减
Z1/Z2的模|Z1/Z2|是OP与OQ的长度比
Z1/Z2的辐角是OP与x轴成的角减去OQ与x轴成的角,即角POQ
前面算出Z2/Z1 = 1±sqrt(3)i,用模与辐角的形式表达就是你贴的图
所以OP与OQ夹角为60度