用数学归纳法的证明题平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交与两点，每三个圆都无公共点，证明交点个数等于n²-n

Question

用数学归纳法的证明题
平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交与两点，每三个圆都无公共点，证明交点个数等于n²-n

Answer 1

1当n=1时，平面内只有一个圆，这个圆将整个平面分成了内外两部分，即f(2)=2；而当n=1时，n2-n+2=12-1+2=2。这正好说明当n=1时，平面内合条件的n个圆将平面分成了f(n)=n2-n+2个部分。
2假设合条件的k个圆将平面分成f(k)=k2-k+2个部分，
那么，当n=k+1时，平面内共有合条件的k+1个圆。原有的k个圆已经将平面分成了f(k)=k2-k+2个部分；而第k+1个圆与原有的k个圆交出2k个交点，这2k个交点将第k+1个圆分成2k段圆弧，其中的每一段圆弧必将它自身所在的区域一分为二，所以平面的区域数会在f(k)=k2-k+2个部分的基础上增加2k。也就是说，合条件的k+1个圆分平面为f(k)+2k=k2-k+2+2k=k2+k+2个部分，而f(k+1)=(k+1)2-(k+1)+2=k2+k+2。
这说明当n=k+1时命题仍然成立。
综上所述，合条件的n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分。
所以有n^2-n个交点