设a＞0，f(x)＝axa+x令a1＝1，an+1＝f(an)，n∈N*．（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论．

Question

设a＞0，f(x)＝(ax)/(a+x)令a1＝1，an+1＝f(an)，n∈N*．
（1）写出a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

（1）∵a₁=1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝(a)/(1+a)，a3＝f(a2)＝(a)/(2+a)，a4＝f(a3)＝(a)/(3+a)，
猜想an＝(a)/((n−1)+a)，(n∈N+)…（4分）
（2）证明：①n=1时，猜想正确．              …（5分）
②假设n=k时猜想正确，即ak＝(a)/((k−1)+a)，…（6分）
则ak+1＝f(ak)＝(a•ak)/(a+ak)＝(a•(a)/((k−1)+a))/(a+(a)/((k−1)+a))＝(a)/((k−1)+a+1)＝(a)/([(k+1)−1]+a)
这说明，n=k+1时猜想正确．                        …（11分）
由①②知，an＝(a)/((n−1)+a)，(n∈N+)…（12分）