用数学归纳法证明：12-22+32-42+…+（-1）n-1n2=（-1）n-1n(n+1)2．

Question

用数学归纳法证明：1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1n²=（-1）^n-1(n(n+1))/(2)．

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=（-1）⁰(1(1+1))/(2)=1，
故：左边=右边，
∴当n=1时，等式成立；（3分）
（2）假设n=k时，等式成立，即 1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²=（-1）^k-1•(k(k+1))/(2)．（6分）
那么1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k-1•(k(k+1))/(2)+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k(k+1)/(2)（-k+2k+2）
=（-1）^（k+1）-1((k+1)[(k+1)+1])/(2)
即当n=k+1时，等式也成立． （10分）
根据（1）和（2）可知等式对任何n∈N₊都成立． （12分）