求二阶递推通项公式要一般式,A(n+2)=pA(n+1)+qA(n)式

Question

求二阶递推通项公式
要一般式,A(n+2)=pA(n+1)+qA(n)式

Answer 1

这个问题很复杂 我可以给你转一个（我朋友推的） 不妨设原数列为A（n+2）+W*A(n+1)+E*A(n)=0
首先将二阶递归列转化为一阶递归列：设一个数列Bn,使B(n+1)=A(n+2)+RA(n+1)···（一式)
其中,R为待定系数.
将n+1换位n,得到B(n)=A(n+1)-RA(n)·····················（二式）
由于我们要完成由二阶向一阶的转化.
固要得到B（n+1）-TB（n）=0························（三式）
将一式二式带入三式.得到A（n+2）-（R+T）*A（n+1）+T*R*A（n）=0······（四式）
注意到上式中的系数：1,（R+T）,R*T.如果将它们分别看做一个二次方程的二次项,一次项,零次项系数,由于二次项系数恰为一.
这样,由于维达定理,我们所假定的二次方程两根X1,X2就有：X1+X2=R+T,X1*X2=R*T
显然,此方程有唯一实数解X1=R,X2=T,或X1=T,X2=R.
两组解取哪一组是不重要的.
这样,就出现了所谓的二阶递归列的特征方程,同样的,我们可以列出三阶,四阶,不过就要借助卡当公式求根了.
回归正题,我们不妨使X1=R,X2=T.
这样,R和T就为已知系数,又由于An前K项已知.所以Bn的递推列可求.
我们再来观察三式：B（n+1）+TB（n）=0
这种简单的一阶递归列通项可以看出来大概是Bn=B1*T^（n-1）这样的等比数列.
不妨将Bn通项带入二式,这样我们就得到一个带有参变量的一阶递归列：
B1*T^（n-1）=A(n+1)+RA(n)·························（五式）
类似这种一阶递归列的求解方法是将等式两边同时除以(R)^(n+1),得到：
B1*T^（n-1）/R^(n+1)=A(n+1)/(R)^(n+1)-A(n)/(R)^(n),···············（六式）
构造Cn,使Cn=An/（R）^n.
则：B1*T^（n-1）/(R)^(n+1)=C(n+1)-Cn·····················（七式）
上式结构复杂,不容易辨认,将左边整理一下.得到：
(T/R)^(n)*B1*R/T=C(n+1)-Cn,这里说明一下,B1,R,T,C1,都是可求的.
所以,上式可求.
利用累加法,
首先整理上式得到C(n+1)-Cn=-(T/R)^(n)*B1*R/T
由于(T/R)^(n)*B1*R/T的实质就是一个等比数列,所以再累加时可以利用等比数列求和公式计算.
下面的过程相当繁琐,我就大概说了.
先证明一个引论,等比数列求和后的数列Sn是一个常数加公比为原等比数列公比的式子,简单的写,就是Sn=P+Q^n,其中,原等比数列公比为Q.这个证明相当简单,只要带入求和公式就可以得到.
由于上面的引论,我们再利用累加法后等式右边就变为Cn=U+Y(T/R)^n+C1,说明一下,U,Y,C1都是可求的,其中,U,Y,是由系数组成的,C1可由A1,A2导出.
由Cn=An/（R）^n的关系导出An,An为An=(U+C1)*R^n+Y*T^n
令H=(U+C1),J=Y
则An=H*R^n+J*T^n
由于R,T为假定方程的两根,这个假定方程是由二阶递归列系数得到的,故这个假定方程就叫做此二阶递归列的特征方程,这两根就叫做二阶递归列的特征根.
由已经推导出的式子An=H*R^n+J*T^n
因为HJ为常系数,当我们知道A1,A2,或任意其中两项时,我们就可以通过方程组求出通项,这叫做特征根法. 我认为这种问题只需知道结论就行了,太麻烦了!