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在三角形abc,设CB向量=a,CA向量=b,求证S△abc=1/2√丨a丨²丨b丨²－(a×b)²用综合法分析,>
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在三角形abc,设CB向量=a ,CA向量=b,求证S△abc=1/2√丨a丨²丨b丨²－(a×b)²
用综合法分析,
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用综合法分析,
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答案和解析
你这里的a×b 是向量的数量积即：内积,而不是外积即：叉乘
即：向量a*向量b≠向量a×向量b
丨a×b丨=丨a丨丨b丨sinC 向量a*向量b=丨a丨丨b丨cosC
因为,1/2√丨a丨²丨b丨²－(a×b)²=1/2√丨a丨²丨b丨²－(丨a丨丨b丨cosC )²
=1/2√丨a丨²丨b丨²－丨a丨²丨b丨²cos²C
=(1/2) 丨a丨丨b丨(√1－cos²C ) =(1/2) 丨a丨丨b丨sinC
又因为：S△abc=(1/2) 丨a丨丨b丨sinC
所以,S△abc=1/2√丨a丨²丨b丨²－(a×b)²
即：向量a*向量b≠向量a×向量b
丨a×b丨=丨a丨丨b丨sinC 向量a*向量b=丨a丨丨b丨cosC
因为,1/2√丨a丨²丨b丨²－(a×b)²=1/2√丨a丨²丨b丨²－(丨a丨丨b丨cosC )²
=1/2√丨a丨²丨b丨²－丨a丨²丨b丨²cos²C
=(1/2) 丨a丨丨b丨(√1－cos²C ) =(1/2) 丨a丨丨b丨sinC
又因为：S△abc=(1/2) 丨a丨丨b丨sinC
所以,S△abc=1/2√丨a丨²丨b丨²－(a×b)²
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