已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x-a2|+|x-2a2|-3a2）．若∀x∈R，f（x-2）≤f（x），则实数a的取值范围为[−33，33][−33，33]．

Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=(1)/(2)（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．若∀x∈R，f（x-2）≤f（x），则实数a的取值范围为

[−(√(3))/(3)，(√(3))/(3)]

[−(√(3))/(3)，(√(3))/(3)]

．

Answer 1

∵当x≥0时，f（x）=(1)/(2)（|x-a²|+|x-2a²|-3a²）．
∴当0≤x≤a²时，f(x)＝(1)/(2)(a2−x+2a2−x−3a2)=-x；
当a²＜x≤2a²时，f（x）=-a²；
当x＞3a²时，f（x）=x-3a²．
画出其图象．
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，
与x＞0时的图象关于原点对称．
∵∀x∈R，f（x-2）≤f（x），
∴6a²≤2，
解得−(√(3))/(3)≤a≤(√(3))/(3)．
∴实数a的取值范围为−(√(3))/(3)≤a≤(√(3))/(3)．
故答案为：[−(√(3))/(3)，(√(3))/(3)]．