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已知函数f(x)=ex(ax2-2x+2),其中a>0.(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直,求实数a的值.(2)讨论f(x)的单调性.

题目详情
已知函数f(x)=ex(ax2-2x+2),其中a>0.
(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直,求实数a的值.
(2)讨论f(x)的单调性.
▼优质解答
答案和解析
(1)函数f(x)=ex(ax2-2x+2)的导数为f′(x)=ex[ax2+2(a-1)x],
由于在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直,
即有e2(8a-4)=e2,解得a=
5
8

(2)∵f′(x)=ex[ax2+2(a-1)x]=aex•x(x-
2(1-a)
a
),
当a=1时,f′(x)=ex•x2≥0,f(x)在R上递增;
当0<a<1时,
2(1-a)
a
>0,则f′(x)>0,可得x>
2(1-a)
a
,或x<0,
f′(x)<0,可得0<x<
2(1-a)
a

即有f(x)的减区间为(0,
2(1-a)
a
),增区间为(-∞,0),(
2(1-a)
a
,+∞);
当a>1时,
2(1-a)
a
<0,则f′(x)>0,可得x<
2(1-a)
a
,或x>0,
f′(x)<0,可得
2(1-a)
a
<x<0,
即有f(x)的减区间为(
2(1-a)
a
,0),增区间为(-∞,
2(1-a)
a
),(0,+∞).
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