已知函数f（x）=ex（ax2-2x+2），其中a>0．（1）若曲线y=f（x）在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直，求实数a的值．（2）讨论f（x）的单调性．

Question

已知函数f（x）=e^x（ax²-2x+2），其中a>0．
（1）若曲线y=f（x）在x=2处的切线与直线x+e²y-1=0垂直，求实数a的值．
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（1）函数f（x）=e^x（ax²-2x+2）的导数为f′（x）=e^x[ax²+2（a-1）x]，
由于在x=2处的切线与直线x+e²y-1=0垂直，
即有e²（8a-4）=e²，解得a=(5)/(8)；
（2）∵f′（x）=e^x[ax²+2（a-1）x]=ae^x•x（x-(2(1-a))/(a)），
当a=1时，f′（x）=e^x•x²≥0，f（x）在R上递增；
当0<a<1时，(2(1-a))/(a)>0，则f′（x）>0，可得x>(2(1-a))/(a)，或x<0，
f′（x）<0，可得0<x<(2(1-a))/(a)，
即有f（x）的减区间为（0，(2(1-a))/(a)），增区间为（-∞，0），（(2(1-a))/(a)，+∞）；
当a>1时，(2(1-a))/(a)<0，则f′（x）>0，可得x<(2(1-a))/(a)，或x>0，
f′（x）<0，可得(2(1-a))/(a)<x<0，
即有f（x）的减区间为（(2(1-a))/(a)，0），增区间为（-∞，(2(1-a))/(a)），（0，+∞）．