罗尔中值定理中,f(x)在a,b闭区间连续,在a,b开区间可导,为什么不是闭区间可导?

Question

罗尔中值定理中,f(x)在a,b闭区间连续,在a,b开区间可导,为什么不是闭区间可导?

Answer 1

当然如果改成在闭区间[a,b]内可导,罗尔定理仍然是成立的,但是没有必要.数学中的定理,都是“追求”一种“条件越弱越好”的原则,因为这样的定理有更广的适用范围.举一个初等数学的例子,我们知道”如果x>4,则x>2“,这个命题无疑是正确的,但是在结论x>2不变的前提下,这定理是不够完美的,因为它的条件太强了,可以减弱为x>3（当然还可以继续减弱）.你的问题中条件“f(x)在(a,b)内可导”显然要比“f(x)在[a,b]上可导”要弱,而确实在条件“f(x)在(a,b)内可导”下,就可以证明罗尔定理,因此根据“条件越弱越好”的原则,自然罗尔定理的条件不会写成“f(x)在[a,b]内可导”