,拉格朗日定理中说满足条件是：（1）在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间（a,b)内可导,则至少存在一点ε∈（a,b）,使得f(b)-f(a)＝f(ε)'(b-a)成立,请问为什么是ε∈（a,b）,而不是ε∈[a,b],为什

Question

,拉格朗日定理中说满足条件是：（1）在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间（a,b)内可导,则至少存在一点
ε∈（a,b）,使得 f(b)-f(a) ＝ f(ε)'(b - a) 成立,请问为什么是ε∈（a,b）,而不是ε∈[a,b],为什么ε不能取到端点值a,b,该如何证明?

Answer 1

因为我们根本就不知道端点处是否有导数（在(a,b)内可导）
证明方法是利用辅助函数
构造g(x)=f(x)-[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a)
然后g(a)=g(b)=f(a)
利用Rolle定理说明g'(c)=0
那么f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)