已知函数f（x）=lg（1+2x），F（x）=f（x）-f（-x）．（1）求函数F（x）的定义域；（2）当0≤x＜12时，总有F（x）≥m成立，求m的取值范围．

Question

已知函数f（x）=lg（1+2x），F（x）=f（x）-f（-x）．
（1）求函数F（x）的定义域；
（2）当0≤x＜(1)/(2)时，总有F（x）≥m成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可知：F（x）=lg（1+2x）-lg（1-2x），
∴1+2x＞0且1-2x＞0，
即−(1)/(2)＜x＜(1)/(2)，
所以函数F（x）的定义域是(−(1)/(2)，(1)/(2))；
（2）由题意可知F(x)＝lg(1+2x)/(1−2x)，
设u(x)＝(1+2x)/(1−2x)，则有 u(x)＝−1+(2)/(1−2x)；
当0≤x＜(1)/(2)时有：0≤2x＜1，即-1＜-2x≤0，
则有0＜1-2x≤1，则(1)/(1−2x)≥1，
故而(2)/(1−2x)≥2，−1+(2)/(1−2x)≥1；
∴u（x）_min=1，F（x）_min=lg1=0；
又由题意可得：m≤F（x）_min，
∴m≤0．