已知幂函数f（x）=（m-1）2xm2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x-k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．

Question

已知幂函数f（x）=（m-1）²x m2−4m+2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2^x-k．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）依题意得：（m-1）²=1，解得m=0或m=2
当m=2时，f（x）=x^-2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去
∴m=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=x²，
当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，
∴A=[1，4]，B=[2-k，4-k]，
∵A∪B=A，
∴B⊆A，
∴

2−k≥1

4−k≤4

⇒0≤k≤1．
故实数k的取值范围事[0，1]