已知幂函数y=f（x）的图象过点(2，22)．（1）求函数f（x）的解析式；（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．

Question

已知幂函数y=f（x）的图象过点 (

2

，(2)/(2) ) ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．

Answer 1

（1）由题意令y=f（x）=x ^a ，由于图象过点（

2

， (2)/(2) ），
得 (2)/(2) =

2

^a ，a=-1
∴y=f（x）=x ^-1
（2）g（x）=f（x）+x=x+ (1)/(x)
函数 g(x)=x+(1)/(x) 在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x ₁ 、x ₂ 使得x ₁ ＞x ₂ ＞1，
都有 g( x 1 )-g( x 2 )=( x 1 +(1)/(x1) )-( x 2 +(1)/(x2) )=(( x1 - x2 )( x1 x2 -1))/(x1 x2)
由x ₁ ＞x ₂ ＞1得，x ₁ -x ₂ ＞0，x ₁ x ₂ ＞0，x ₁ x ₂ -1＞0，
于是g（x ₁ ）-g（x ₂ ）＞0，即g（x ₁ ）＞g（x ₂ ），
所以，函数 g(x)=x+(1)/(x) 在区间（1，+∞）上是增函数．