已知抛物线y2=2px（p＞0），过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与抛物线交于P，Q两点，l2与抛物线交于M，N两点，设l1的斜率为k．若某同学已正确求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为

Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁与抛物线交于P，Q两点，l₂与抛物线交于M，N两点，设l₁的斜率为k．若某同学已正确求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为(2p)/(k)+(p)/(k3)，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为______．

Answer 1

设出M，N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∵M，N在抛物线y²=2px（p＞0）
∴

y

2 1

＝2px1①

y

2 2

＝2px2②

①-②知（y₁²-y₂²）=2p（x₁-x₂）
∵(y1−y2)/(x1−x2)=−(1)/(k)
∴y₁+y₂=-2kp
∵M，N在直线l₂：y=−(1)/(k)(x−p)上
∴x₁+x₂=2p（k²+1）
即弦MN的中点坐标为（p（k²+1），-kp）
∵过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁与抛物线交于P，Q两点，l₂与抛物线交于M，N两点，设l₁的斜率为k
∴kmn＝−(1)/(k)
∴弦MN的中垂线的斜率为k
∴弦MN的中垂线的方程为：y+kp=k（x-p（k²+1）），
令x=0得y=-2pk-pk³
故答案为：-2pk-pk³