已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2．(Ⅰ)求a；(Ⅱ)证明：当k＜1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点．三次函数求交点类问题,须求出极大值和极小值,再

Question

已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2．
(Ⅰ)求a；
(Ⅱ)证明：当k＜1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点．
三次函数求交点类问题,须求出极大值和极小值,再与Y=0讨论.但是,做题时,为何要分类讨论?X的划分为什么是0?

Answer 1

　　这是3次多项式函数的图像的切线与x轴,所以要先求切线方程.
(1) f'(x)=3x^2-6x+a k=a
　　切线方程：y=ax+2
　　与 y=0 联立解得：x=-2/a=-2
　　∴a=1
(2) f(x)=x^3-3x^2+x+2 与 y=kx-2 联立
　　x^3-3x^2+x+2=kx-2
　　x^3-3x^2+(1-k)x+4=0
　　作变换x=y+1得：y^3-（2+k）y+3-k
　　p=-(2+k) q=3-k
　　△=(3-k)^2/4+[-(2+k)]^3/27=211/108-35/18*k+1/36*k^2-1/27*k^3
　　当k0
　　∴当k＜1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点