求极限什么时候可以直接代入X,什么时候不能直接代入?还有,求极限是一个整体过程,这个是关于”求极限是一个整体过程,不能一部分求,而另一部分不求“,那是不是就意味着不能直接代入X了?

Question

求极限什么时候可以直接代入X,什么时候不能直接代入?还有,求极限是一个整体过程,

这个是关于”求极限是一个整体过程,不能一部分求,而另一部分不求“,那是不是就意味着不能直接代入X了?但是有的时候确实要代入X的值,这是不是矛盾了呢?（要是能代入,到底什么时候能代,什么时候不能代?）
下面几个题,有的就能代入,有的代入就错了,
第一题,这个就是代入的,结果正确.


 
注意划线部分,不能代入

Answer 1

你的问题从头到尾只有一个.
只有整体乘项(整体除项)可以用等价替换,和非零常数极限先求.
请注意,上述命题中用了只有,也就是只有上述情形可以用上述方法.
第一个问题,实际上[f(x)-f(x-h)]/h=f'(x-h),当然考虑到h趋于零才有f'(x).
如果你先f'(x),就犯了不是整体乘项,但是先带了的错误.
第二个问题,你是等价无穷小不熟悉（任何一个无穷小乘一个极限为1的量,是自己的等价无穷小）
因为e^x-1~x
(1+x)^x-1=e^(xln(1+x))-1~xln(1+x)~x^2
其实等价无穷小的替换很简单,首先熟悉基本公式,实际操作中还需要累积一些自己认为有用的（这个量的多少,由自己控制,比如x-sinx这个等等）另外一般的用泰勒展开做稍微难点,但适用范围更广,可以理解为更高段的等价替换,因为他加项都可以替换,因为他是相等的.
第三个问题,你还是问为什么不能把极限带入.
实际上,他不整体乘项.