线性相关性的证明题!设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β≠0满足（αi,β）=0,i=1,2,3,判断向量组α1,α2,α3,β的线性相关性.

Question

线性相关性的证明题!
设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β≠0满足（αi,β）=0,i=1,2,3,判断向量组α1,α2,α3,β的线性相关性.

Answer 1

答: α1,α2,α3,β 线性无关.
设 k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0
等式两边对β取内积, 由已知 (αi, β)=0, 得
k(β,β)=0
又由 β≠0, 故(β,β)≠0, 所以k=0
所以 k1α1+k2α2+k3α3 = 0.
由已知 α1,α2,α3线性无关
所以 k1=k2=k3=0
所以 α1,α2,α3,β 线性无关