将（x+y+z）5展开合并同类项后共有项，其中x3yz项的系数是．

Question

将（x+y+z） ⁵ 展开合并同类项后共有______项，其中x ³ yz项的系数是______．

Answer 1

将（x+y+z） ⁵ 展开合并同类项后，每一项都是 m?x ^a ?y ^b ?z ^c  的形式，且a+b+c=5，其中，m是实数，a、b、c∈N，
构造8个完全一样的小球模型，分成3组，每组至少一个，共有分法

C

27

种，
每一组中都去掉一个小球的数目分别作为（x+y+z） ⁵ 的展开式中每一项中x，y，z各字母的次数，
小球分组模型与各项的次数是一一对应的．
故 将（x+y+z） ⁵ 展开合并同类项后共有

C

27

=21项．
把（x+y+z） ⁵ 的展开式看成5个因式（x+y+z）的乘积形式．
从中任意选3个因式，这3个因式都取x，另外的2个因式分别取y、z，相乘即得含x ³ yz项，故含x ³ yz项的系数为

C

35

=20，
故答案为 21；20．