（1）求（1+x+x2+x3）（1-x）7的展开式中x4的系数；（2）求（x+4x-4）4的展开式中的常数项；（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数．

Question

（1）求（1+x+x²+x³）（1-x）⁷的展开式中x⁴的系数；
（2）求（x+(4)/(x)-4）⁴的展开式中的常数项；
（3）求（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）⁵⁰的展开式中x³的系数．

Answer 1

（1）原式=(1−x4)/(1−x)（1-x）⁷=（1-x⁴）（1-x）⁶，
展开式中x⁴的有两种情况，在（1-x⁴）中取（-x⁴），在（1-x）⁶中取1，或在（1-x⁴）中取（1），在（1-x）⁶中取x²，
其系数为（-1）⁴C₆⁴-1=14．
（2）（x+(4)/(x)-4）⁴=((x2−4x+4)4)/(x4)=((2−x)8)/(x4)，
要在展开式中取得常数项，则必须在（2-x）⁸中取得x⁴项，
故其原式的展开式中常数项为C₈⁴2⁴•（-1）4=1120．
（3）原式=((1+x)3[(1+x)48−1])/((1+x)−1)=((1+x)51−(1+x)3)/(x)；
要在展开式中取得x³项，必须在（1+x）⁵¹取得x⁴项，
故其原式的展开式中x³的系数为C₅₁⁴．