关于高阶等差数列的的问题.任意一个数列的末项为二次三项式,如何证明它是二阶等差数列?任意一个二阶等差数列,如何证明它的数列的末项为二次三项式?是否所有高次多项式都可以表达一

Question

关于高阶等差数列的的问题.
任意一个数列的末项为二次三项式,如何证明它是二阶等差数列?
任意一个二阶等差数列,如何证明它的数列的末项为二次三项式?
是否所有高次多项式都可以表达一个高阶等差数列的末项?
顺便求一下{-5，-4，10，23，40……}这个数列末项的通项

Answer 1

设A(n)=an^2+bn+c,其中a,b,c为常数
则每相邻两项的差:
B(n)=A(n+1)-A(n)
=a(n+1)^2+b(n+1)+c-(an^2+bn+c)
=a(2n+1)+b
则C(n)=B(n+1)-B(n)=a(2(n+1)+1)+b-(a(2n+1)+b)=2a为常数,
所以A(n)为二阶等差数列
反之
设C(n)=d为常数
B(n)为公差为d的等差数列
则B(n)=B(1)+(n-1)*d
则基于一阶等差数列B(n)的二阶等差数列A(n)的通项为
A(n)=A(1)+B(1)+B(2)+...+B(n-1)
=A(1)+B(1)+(B(1)+d)+...+(B(1)+(n-2)*d)
=A(1)+(n-1)*B(1)+d*(1+2+...+(n-2))
=A(1)+(n-1)*B(1)+d*(n-2)*(n-1)/2
=d/2*n^2+(B(1)-3d/2)*n+A(1)+d
其中d、A(1)、B(1)为常数
所以A(n)的通项为一个关于n的二次三项式
所有高次多项式都可以表达一个高阶等差数列的通项
可以用数学归纳法证明
A(n)={-5,-4,1,10,23,40……}
设B(n)=A(n+1)-A(n)
B(n)={1,5,9,13,17.}
设C(n)=B(n+1)-B(n)
C(n)={4,4,4,4...}
所以B(n)=1+(n-1)*4
A(n)=-5+(B(1)+B(2)+...+B(n-1))
=-5+(1+5+...+(1+(n-2)*4))
=-5+1*(n-1)+4*(n-2)(n-1)/2
=2n^2-5n-2