已知（1＋2√x)∧n的展开式中,某一项的系数是他前一项系数的2倍,而又等于它最后一项系数的5/6.（1）求展开后所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项.

Question

已知（1＋2√x)∧n的展开式中,某一项的系数是他前一项系数的2倍,而又等于它最后一项系数的5/6.
（1）求展开后所有项的二项式系数之和；（2）求展开式中的有理项.

Answer 1

展开式的通项是：
T(r＋1)=[C(r,n)]×[2√x]^r
则：
[C(r,n]×2^r=[C(r－1,n)]×2^(r－1)×2 --------------------------(1)
[C(r,n)]×2^r=[C(r＋1,n)]×2^(r＋1)×(5/6) --------------------(2)
根据(1),得：
C(r,n)=C(r－1,n)
则：n=2r－1
由(2)得：
C(r,2r－1)=C(r＋1,2r－1)×(5/3)
(2r－1)!/[r!×(r－1)!]={(2r－1)!/[(r＋1)!×(r－2)!]}×(5/3)
解得：r=4
则：n=7
1、二项式系数和是2^7=128；
2、再次研究下通项,得x的指数是：r/2,则有理项是：r=0、2、4、6,则有理项是：
T1、T2、T5、T7