在二项式3次根号x-1/2(3次根号x）的展开式中,前三项系数的绝对值...在二项式3次根号x-1/2(3次根号x）的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求n的值；（2）求展开式的常

Question

】 在二项式【3次根号x-1/2(3次根号x）】的展开式中,前三项系数的绝对值...
在二项式【3次根号x-1/2(3次根号x）】的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求n的值；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中各项的系数和

Answer 1

前三项系数分别为1,-(1/2)×C(n,1),(1/4)×C(n,2)
它们的绝对值为 1,n/2,n(n-1)/8
由条件,得 1+n(n-1)/8=n,整理得n²-9n+8=0
解得 n=8或n=1(舍)
(1)所以 n=8
(2)T(r+1)=C(8,r)[x^(1/3)]^(8-r)·[-1/2·x^(1/3)]^r
=(-1/2)^r·C(8,r)·x^[(8-2r)/3]
令 8-2r=0,得r=4
所以 常数项T5=(-1/2)⁴·C(8,4)=35/8
(3)在二项式中,令 x=1,得展开式的系数和为(1-1/2)^8=1/256