用二项式定理证明(1+1/n)^n的单调性

Question

用二项式定理证明(1+1/n)^n的单调性

Answer 1

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首先需要二项式定理：
（a+b）^n=∑ C（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）
用数学归纳法证此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此,n=1时,式一成立.
设n1为任一自然数,假设n=n1时,（式一）成立 ,即：
（a+b）^n1=∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）
则,当n=n1+1时:
式二两端同乘（a+b）
[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
=> (a+b)^(n1+1)= ∑ C（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)
因此二项式定理（即式一成立）
下面用二项式定理计算这一极限：
（1+1/n）^n （式一）
用二项式展开得：
（1+1/n）^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与（1/n）的次数相同,而系数为1,因此,最高次项与（1/n）的相应次方刚好相约,得1,低次项与1/n的相应次方相约后,分子剩下常数,而分母总余下n的若干次方,当n -> +∞,得0.因此总的结果是当n -> +∞,二项展开式系数项的各项分子乘积与（1/n）的相应项的次方相约,得1.余下分母.于是式一化为：
（1+1/n）^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n!（式二）
当n -> +∞时,你可以用计算机,或笔计算此值.这一数值定义为e.
补充：
将式二和公比为1/2的等比数列比较,其每一项都小于此等比数列,而此等比数列收敛,因此,式二必定收敛于一固定数值.