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一个关于二项式定理的问题!1*Cn1+2*Cn2+3*Cn3+……+n*Cnn=?
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一个关于二项式定理的问题!
1*Cn1+2*Cn2+3*Cn3+……+n*Cnn=?
1*Cn1+2*Cn2+3*Cn3+……+n*Cnn=?
▼优质解答
答案和解析
设1*Cn1+2*Cn2+3*Cn3+……+n*Cnn=A
不妨再加一项0*Cn0,则0*Cn0+1*Cn1+2*Cn2+3*Cn3+……+n*Cnn=A.
由Cnk的对称性:Cnk=Cn(n-k)可得:
0*Cnn+1*Cn(n-1)+2*Cn(n-2)+……+n*Cn0=A
将上式倒序:n*Cn0+(n-1)*Cn1+...+0*Cnn=A
两式相加:(n+0)Cn0+(n-1+1)Cn1+...+(0+n)Cnn=2A
即:n(Cn0+Cn1+...+Cnn)=2A=n*2^n
所以A=n*2^(n-1)
不妨再加一项0*Cn0,则0*Cn0+1*Cn1+2*Cn2+3*Cn3+……+n*Cnn=A.
由Cnk的对称性:Cnk=Cn(n-k)可得:
0*Cnn+1*Cn(n-1)+2*Cn(n-2)+……+n*Cn0=A
将上式倒序:n*Cn0+(n-1)*Cn1+...+0*Cnn=A
两式相加:(n+0)Cn0+(n-1+1)Cn1+...+(0+n)Cnn=2A
即:n(Cn0+Cn1+...+Cnn)=2A=n*2^n
所以A=n*2^(n-1)
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