请问怎样判断一个多项式已经不能再进行因式分解?（最好分一次多项式、二次多项式、三次多项式、四次多项式、五次多项式.来讨论）谢谢!答得好有重谢！

Question

请问怎样判断一个多项式已经不能再进行因式分解?（最好分一次多项式、二次多项式、三次多项式、四次多项式、五次多项式.来讨论）
谢谢!
答得好有重谢！

Answer 1

问题不明确,没有限定范围.
在实数范围内,任何多项式都可以分解为一次式与二次式的乘积（即三次以上的多项式都是可约的）,只是系数未必是有理数,有时候很难计算准确值,常常借助于数值方法计算近似值.
在复数范围内,只有一次式不可约,任意多项式都可以分解为一次多项式的乘积,但是系数可能是虚数.
有理数范围内,情况很复杂,不过一次式总是不可约的；二次式可以通过求根公式来处理；对于三次式,如果没有有理根,那么在有理数范围内一定不能进行分解（因式定理的结果）,判断是否有有理根时,只需要试验少数几个值即可（对于整系数多项式,如果有有理根,那么,其分母一定是最高次项的约数,分子一定是最低次项的约数,故只需检验这些值是否是原多项式的根即可）.对于四次及以上的多项式,要判断是否在有理数范围内可约,操作起来会比较麻烦,最好借助于计算机来处理,人工计算太费时.