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试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明．
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试写出所有3个连续正整数立方和的最大公约数，并证明．
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答案和解析
设三个连续的正整数的立方和为f（n）=（n-1）3+n3+（n+1）3
=3n3+6n
=3n3-3n+9n
=3n（n-1）（n+1）+9n
又∵当n≥2时，（n-1）n（n+1）是三个连续的整数的积，
所以必是3的倍数，所以3n（n-1）（n+1）能被9整除．
∴f（n）能被9整除
∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是9．
=3n3+6n
=3n3-3n+9n
=3n（n-1）（n+1）+9n
又∵当n≥2时，（n-1）n（n+1）是三个连续的整数的积，
所以必是3的倍数，所以3n（n-1）（n+1）能被9整除．
∴f（n）能被9整除
∴三个连续的正整数的立方和的最大公约数是9．
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