用反证法证明“形如4k3（k属于正整数）的数不能化为两个整数平方和”是,开始假设结论的反面成立应写成?

Question

用反证法证明“形如4k 3（k属于正整数）的数不能化为两个整数平方和”是,开始假设结论的反面成立应写成?

Answer 1

题目没表述清楚,应该是“形如4k+3.”吧,证明如下：
假设形如4k+3数能化为两个整数平方和
令4k+3=x^2+y^2,这里x、y均为整数
因4k+3为奇数
则x^2、y^2必为一奇一偶
而奇数的平方是奇数,偶数的平方是偶数
则x、y必为一奇一偶
令x为奇数,x=2m+1,这里m为整数
令y为偶数,y=2n,这里n为整数
于是由假设有4k+3=(2m+1)^2+(2n)^2
即有2(m^2+n^2+m-k)=1
显然m^2+n^2+m-k为整数
而2(m^2+n^2+m-k)表示一个偶数
表明2(m^2+n^2+m-k)=1是一个错误的结论
因此假设不成立
所以形如4k+3数不能化为两个整数平方和