求抽象代数学得好的数学高材生解答证明:有限域F的每个元素都可表成两元素的平方和

Question

求抽象代数学得好的数学高材生解答
证明:有限域F的每个元素都可表成两元素的平方和

Answer 1

题目虽然不难,但还是很有意思的,我看了看,给你一点想法.
首先有限域除0元外的其他元按乘法构成循环群,因此这个循环群有一个生成元x,如果x可以表示成两数平方和,那么其他元素都可以表示成平方和,为什么?你考虑两个复数z1,z2模平方的乘积公式就知道了哟...所以问题就只要针对生成元考虑就行,在这之前,考虑一下由x^(2k)（k是整数）构成的集合F1,显然F1/{0}按乘法是F/{0}的子群.且F1/{0}的阶为(q-1)/2,但是F1按加法不构成F的子群.或者说x存在奇数幂次的x^(2k+1)一定可以表成2元素平方和,即有x一定可以表成平方和.否则,F1则是F的子域,于由于|F1|=(q+1)/2,因此有(q+1)/2整除q,因为q是素数幂次,这显然不可能因此必有x可表成两数平方和,进而由2平方和乘积公式得出F中非0元均可表成平方和.手机打字效率低,不懂请一定追问.