(1)求多项式展开式各项系数和．(2)多项式展开式中x的偶次幂各项系数和与x奇次幂各项系数和各是多少？

Question

(1)求多项式展开式各项系数和．
(2)多项式展开式中x的偶次幂各项系数和与x奇次幂各项系数和各是多少？____

Answer 1

【分析】(1)利用赋值法：令多项式中的x=1得各项系数和，
(2)利用赋值法：令多项式中的x分别取1，-1得两个等式，两等式相加、相减得展开式中x的偶次幂各项系数和与x奇次幂各项系数和．

(1)设f(x)=(3x⁴-x³-2x-3)¹⁰²•(3x-5)⁴•(7x³-5x-1)⁶⁷
=a₀+a₁x+a₂x²++a_nxⁿ(n∈N)，
其各项系数和为a₀+a₁+a₂++a_n．
又∵f(1)=a₀+a₁+a₂++a_n=(3-1-2-3)¹⁰²•(3-5)⁴•(7-5-1)⁶⁷=16•3¹⁰²，
∴各项系数和为16•3¹⁰²．
(2)设f(x)=x¹⁰⁰⁰-x•(-x³-2x²+2)¹⁰⁰⁰
=a₀+a₁x++a₃₀₀₁x³⁰⁰¹，
∴f(1)=a₀+a₁+a₂+…+a₃₀₀₁=0，
f(-1)=a₀-a₁+a₂-…-a₃₀₀₁=2，
故a₁+a₃++a₃₀₀₁=-1，
a₀+a₂++a₃₀₀₀=1，
∴f(x)展开式中x的偶次幂各项系数和为1，x奇次幂各项系数和为-1．

【点评】本题考查赋值法是求多项式展开式的系数和的方法．