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设a是正整数,证明：当a是平方数时,a的约数之个数必为奇数.
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设a是正整数,证明：当a是平方数时,a的约数之个数必为奇数.
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答案和解析
设m为完全平方数.
m分解质因数为p1^r1*p2^r2*...*pn^rn
则m的所有因数的个数为(r1+1)*(r2+1)*...*(rn+1) (第i个质因数可以乘0~ri次,所以有(ri+1)种情况,再用乘法原理乘起来)
这个数是奇数
即m的约数为奇数
m分解质因数为p1^r1*p2^r2*...*pn^rn
则m的所有因数的个数为(r1+1)*(r2+1)*...*(rn+1) (第i个质因数可以乘0~ri次,所以有(ri+1)种情况,再用乘法原理乘起来)
这个数是奇数
即m的约数为奇数
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