如下.由整式的乘法（x+a）（x+b）=x²+ax+bx+ab=x²+（a+b）x+ab可知,x²+（a+b）x+ab=（x+a）(x+b),因此,对于二次三项式x²+mx+n,只要能将常数项n分解成两个因数a,b,使a,b的和恰好等于一次项系

Question

如下.
由整式的乘法（x+a）（x+b）=x²+ax+bx+ab=x²+（a+b）x+ab可知,x²+（a+b）x+ab=（x+a）(x+b),因此,对于二次三项式x²+mx+n,只要能将常数项n分解成两个因数a,b,使a,b的和恰好等于一次项系数m,即ab=n,a+b=m,就能将x²+mx+n分解因式.为使分解过程直观,常常采用图示的方法（特么字太多.略……此为新人教版七年级下册数学作业本1 的25页第七题.）

Answer 1

十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数.其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式.对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说,方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b,那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号.基本式子：x²+(p+q）χ+pq=(χ+p）(χ+q）.
十字相乘法
编辑本段通俗方法
例：
a²x²+ax-42
首先,我们看看第一个数,是a²,代表是两个a相乘得到的,则推断出(a ×+?）×(a ×+?）
然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出使两项式×两项式.
再看最后一项是-42 ,-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2
首先,21和2无论正负,合并后都不可能是1 只可能是-19或者19,所以排除后者.
然后,在确定是-7×6还是7×-6.
(a×-7））×(a×+6）=a²-a-42(计算过程省略,）
得到结果与原来结果不相符,原式+a 变成了-a
再算：
(a×+7）×(a×+(-6））=a²+a-42
正确,所以a²x²+ax-42就被分解成为(ax+7）×(ax-6）,这就是通俗的十字相乘法分解因式.
编辑本段例题解析
例1
把2x²-7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同!
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.
解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地,对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下：
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.
以上是说明,具体问题请具体提问.