一道数学题：求所有正整数n,使n+36是一完全平方数,且除了2或3以外,n无其他质因数.

Question

一道数学题：求所有正整数n,使n+36是一完全平方数,且除了2或3以外,n无其他质因数.

Answer 1

令(k+6)^2=n+36=2^a*3^b.则k(k+12)=2^a*3^b.
令k=2^c*3^d,则2^c*3^d+2^2*3=2^e*3^f.
d=0时,若c=2,
令p=c-2,s=e-2,t=f.
有2^p+3=2^s*3^t.(III)
s>=p时,则p=0,得s=2,t=0,n=2^6=64.
s=1时,若c0,q=d-1>=0,s=e-c,t=f-1,有3^q+2^p=2^s*3^t
若ps,则s=0,3^q+2^p=3^t
若q=p,则1=2^p*(2^(s-p)*3^t-3^q).所以,p=0,
1=2^(s-p)*3^t-3^q.
若t>=q,则同理q=0,2^s*3^t=2,s=1,t=0.
k=2^2*3=12,n=2^5*3^2=288.
若t0
若s=q,则q=0,-2^p+3^t=1.t>=0
若t0(II)
s=2,q=1是其一解,
因此 n=2^6*3^3=1728
对于2^p+1=3^t,t>=0(I),p=1,t=1是解 n=2^5*3^3=864
p=3,t=2是解,n=2^7*3^4=10368.
可以证明t>2时,(I)无解;q>1时,(II)无解.
故n可为64,108,288,1728,864,10368.
证明t>2时,2^p+1=3^t无解;q>1时,2^s=3^q+1无解.
因为t>2,则9|2^p+1.而2^p+1=(3-1)^p+1=9w+p*(-1)^(p-1)*3+(-1)^p+1=9w+v.
若p为奇数,则v=3p-1+1=3p,解未定.
若p为偶数,则v=-3p+1+1,9!|v,故无解.
因为q>1时,s>2,2^s-1=(3-1)^s-1=9w+s*(-1)^(s-1)*3+(-1)^s-1=9w+v.9|2^s+1.
若s为奇数,则v=3p-1-1=3p-2,9!|v,故无解.
若s为偶数,则v=-3p+1-1=3p,解未定.
2^p+1=3^t(I),2^s-1=3^q(II)
若q