在如图所示的区域里，y轴左侧是匀强电场，场强E=4×105N/C，方向与y轴负方向夹角为30°．在y轴右方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，B=0.01T，现有质量为m=1.6×10-27kg的质子，以v0=2×105m/s的速

Question

在如图所示的区域里，y轴左侧是匀强电场，场强E=4×10⁵N/C，方向与y轴负方向夹角为30°．在y轴右方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，B=0.01T，现有质量为m=1.6×10^-27kg的质子，以v₀=2×10⁵m/s的速度从x轴上的A点射出（A点与坐标原点O相距10cm），第一次沿x轴正方向射出；第二次沿x轴负方向射出．求：

（1）质子先后两次进入电场前在磁场中运动的时间的比值；
（2）第一次进入电场后在电场中运动的时间．
（3）第一次质子进入电场和射出的电场时的位置坐标．

Answer 1

（1）设质子电量为q，质子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，两次的圆心角分别θ₁和θ₂，两次的运动时间分别为t₁和t₂
        如图质子进入磁场后座匀速圆周运动，由qv₀B=m(v02)/(R)①
        已知数据代入①式得：R=20cm
        质子两次运动的轨迹如图所示，最后两质子均垂直于电场线方向进入电场，有几何关系可知：
        质子第一次从A点射入磁场的轨迹圆心角：θ₁=210° ②
        质子第二次从A点射入磁场的轨迹圆心角：θ₂=30° ③
        质子在磁场中运动的周期：T=(2πR)/(v0)④
        ①④联立得：T=(2πm)/(qB) 
        质子在磁场运动的时间：t=(θ)/(2π)T=(θ)/(2π)(2πm)/(qB) ⑤
        ②③代入⑤式得：(t1)/(t2)=(210)/(30)=7：1
（2）设质子第一次在电场中运动的时间为t′，该时间内在垂直电场方向的位移为x₁，平行于电场线方向的位移为y₁，加速度为大小为a
        根据类平抛规律，对质子有：x₁=v₀t′⑥
        y₁=(1)/(2)at′² ⑦
        根据牛顿第二定律：Eq=ma ⑧
        根据几何关系：tan60°=(y1)/(x1) ⑨
       联立⑥⑦⑧⑨式，代入题给数据得：t′=√(3)×10^-8s≈1.73×10^-8s
（3）设第一次质子在电场运动的合位移大小为s，第一次进入电场时纵坐标y₁′，射出电场时纵坐标y₂′
        根据几何关系得：s=2x₁       
        s=4√(3)×10^-3m
        第一次进入电场时纵坐标y₁′=R（1+cos30°）≈37.3cm
        第一次进入电场时纵坐标y₂′=R（1+cos30°）-s≈36.6cm
        所以第一次质子进入电场时的位置坐标为（0，37.3cm）；第一次质子射出电场时的位置坐标为（0，36.6cm）
答：（1）质子先后两次进入电场前在磁场中运动的时间的比值为7：1；
      （2）第一次进入电场后在电场中运动的时间为1.73×10^-8s；
      （3）第一次质子进入电场时的位置坐标为（0，37.3cm）；第一次质子射出电场时的位置坐标为（0，36.6cm）