如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正

Question

如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量为q（q＞0）和初速度为v的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内．已知重力加速度大小为g，若从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开．
（1）求电场强度和磁感应强度的大小；
（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并指出这束带电微粒中哪些粒子在磁场中运动的时间最长；最长时间为多少？

Answer 1

（1）带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡．
设电场强度大小为E，由平衡条件得：mg=qE，
解得：E=(mg)/(q)，方向沿y轴正方向．  
带电微粒进入磁场后，将做圆周运动，且r=R．如图a所示．设磁感应强度大小为B
由牛顿第二定律得：qvB=m(v2)/(R)，
解得：B=(mv)/(qR)；
（2）这束带电微粒都通过坐标原点，
从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动．
如图b所示，P点与O点的连线与y轴的夹角为θ，则圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ），
又数学知识得：粒子圆周运动的轨迹方程为：（x+Rsinθ）²+（y-Rcosθ）²=R²，
令y=0，解得：x=0，
因所有的粒子最后从原点离开，且半径均为R，所以从M点进入的粒子在磁场中偏转的角度为180°最大，因而运动的时间最长．
粒子做圆周运动的周期：T=(2πR)/(v)，
最长运动时间：t=(1)/(2)T=(πR)/(v)；
答：（1）电场强度大小为：(mg)/(q)，磁感应强度的大小为：(mv)/(qR)；
（2）这束带电微粒与x轴相交的区域为以（-Rsinθ，Rcosθ）为圆心，R为半径的圆，转过圆心角为180度的粒子运动时间最长，最长时间为(πR)/(v)．