（1999•湖南）已知：如图，EB是⊙O的直径，且EB=6．在BE的延长线上取点P，使EP=EB．A是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D．过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H．连接ED和FH．

Question

（1999•湖南）已知：如图，EB是⊙O的直径，且EB=6．在BE的延长线上取点P，使EP=EB．A是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D．过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H．连接ED和FH．
（1）若AE=2，求AD的长；
（2）当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时，
①是否总有(AD)/(AH)＝(ED)/(FH)？试证明你的结论；
②设ED=x，BH=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）∵AD切⊙O于D，AE=2，EB=6，
∴AD²=AE•AB=2×（2+6）=16．
∴AD=4．（2分）

（2）①无论点A在EP上怎么移动（点A不与点E重合），
总有(AD)/(AH)＝(ED)/(FH)（3分）
证明：连接DB，交FH于G．
∵AH是⊙O的切线，∴∠HDB=∠DEB．
又∵BH⊥AH，BE为直径，
∴∠BDE=90°．
有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH．
在△DFB和△DHB中，
DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，
DB=DB，∠DBE=∠DBH，
∴△DFB≌△DHB．（4分）
∴BH=BF．∴△BHF是等腰三角形．
∴BG⊥FH，即BD⊥FH．
∴ED∥FH，∴(AD)/(AH)＝(FD)/(FH)（5分）
②∵ED=x，BH=y，BE=6，BF=BH，
∴EF=6-y，
又∵DF是Rt△BDE斜边上的高，
∴△DFE∽△BDE，
∴(EF)/(ED)＝(ED)/(EB)
即ED²=EF•EB．
∴x²=6（6-y）即y=-(1)/(6)x²+6（7分）
∴ED=x＞0，
当A从E向左移动，ED逐渐增大，
当A和P重合时，ED最大，
这时，连接OD，则OD⊥PH，
∴OD∥BH．
又PO=PE+EO=6+3=9，PB=12，
(OD)/(BH)＝(PO)/(PB)，BH=(OD•PB)/(PO)＝4
∴BF=BH=4，EF=EB-BF=6-4=2．
由ED²=EF•EB，得：x²=2×6=12，
∵x＞0，∴x=2√(3)，
∴0＜x≤2√(3)，
[或由BH=4=y，代入y=-(1)/(6)x²+6中，得x=2√(3)]
故所求函数关系式为y=-(1)/(6)x²+6（0＜x≤2√(3)）．