如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③

Question

如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是

AD

的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：

①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．
其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；
连接BD，如图所示：

∵GD为圆O的切线，
∴∠GDP=∠ABD，
又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，
∴∠GDP=∠GPD，
∴GP=GD，选项②正确；
∵直径AB⊥CE，
∴A为

CE

的中点，即

AE

=

AC

，
又C为

AD

的中点，∴

AC

=

CD

，
∴

AE

=

CD

，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP，
又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；
连接CD，如图所示：

∵

AC

=

CD

，
∴∠B=∠CAD，
又∵∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴(AC)/(CQ)=(CB)/(AC)，即AC²=CQ•CB，
∵

AE

=

AC

，
∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，
∴△ACP∽△ADC，
∴(AC)/(AD)=(AP)/(AC)，即AC²=AP•AD，
∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，
则正确的选项序号有②③④．
故答案为：②③④