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如图，已知矩形ABCD中，AD=a，DC=b，在AB上找一点E，使点E与点C、D的连线将矩形分成的三个三角形相似．设AE=x，请问这样的点E是否存在？若存在，这样的点E有几个？若不存在，请说明理由．
题目详情
如图，已知矩形ABCD中，AD=a，DC=b，在AB上找一点E，使点E与点C、D的连线将矩形分成的三个三角形相似．设AE=x，请问这样的点E是否存在？若存在，这样的点E有几个？若不存在，请说明理由．▼优质解答
答案和解析
假设这样的点E存在，由三个三角形相似知：
=
，即
=
，
∴x2-bx+a2=0，
由于△=b2-4a2，
即（1）当b=2a时，△=0，这样的点E只有一个；
（2）当b＞2a时，△＞0，这样的点E只有两个；
（3）当b＜2a时，△＜0，这样的点E不存在．
假设这样的点E存在，由三个三角形相似知：| AD |
| AE |
| BE |
| BC |
| a |
| x |
| b-x |
| a |
∴x2-bx+a2=0，
由于△=b2-4a2，
即（1）当b=2a时，△=0，这样的点E只有一个；
（2）当b＞2a时，△＞0，这样的点E只有两个；
（3）当b＜2a时，△＜0，这样的点E不存在．
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