求曲线积分∫e^√x^2+y^2ds其中l为单位圆周、直线y=√3x及x轴在第一象限内所围成的求曲线积分∫e^√x^2+y^2ds其中l为单位圆周、直线y=√3x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

Question

求曲线积分∫e^√x^2+y^2ds 其中l为单位圆周、直线y=√3x及x轴在第一象限内所围成的
求曲线积分∫e^√x^2+y^2ds 其中l为单位圆周、直线y=√3x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

Answer 1

求曲线积分∫e^√(x²+y²)ds 其中l为单位圆周、直线y=(√3)x及x轴在第一象限内所围成的扇形的
整个边界.
设单位园与ox轴得交点为A,与直线y=(√3)x得交点为B,那么
∫e^√(x²+y²)ds=【OA] ∫+【O⌒A】 ∫+【BO】 ∫
线段OA：x=t,y=0,0≦t≦1；
园弧O⌒A：x=cost,y=sint,0≦t≦π/3；
线段BO：x=(1/2)t,y=(√3/2)t,0≦t≦1；
故原式=【0,1】∫e^tdt+【0,π/3】∫[e^√(cos²t+sin²t)]√[(-sint)²+(cost)²]dt
+【1,0】∫[(e^√(t²/4+3t²/4)]√(1/4+3/4)dt
=(e-1)+【0,π/3】∫edt+【1,0】∫e^tdt
=(e-1)+(π/3)e+(1-e)=(π/3)e