点P是等边三角形ABC内部一点，PA=3，PB=4，PC=5，则三角形ACP的面积是．

Question

点P是等边三角形ABC内部一点，PA=3，PB=4，PC=5，则三角形ACP的面积是______．

Answer 1

如图，把△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD，
则AD=PA=3，CD=PB=4，
∴△APD是等边三角形，
∴PD=PA=3，
∵PD²+CD²=3²+4²=25，
PC²=5²=25，
∴PD²+CD²=PC²，
由勾股定理逆定理得，△PCD是直角三角形，
∴∠ADC=150°，
S_{四边形APCD}=S_△APD+S_△PCD=(1)/(2)×3×（3×(√(3))/(2)）+(1)/(2)×3×4=(9√(3))/(4)+6，
过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E，
则∠CDE=180°-∠ADC=180°-150°=30°，
∴CE=(1)/(2)CD=(1)/(2)×4=2，
∴S_△ACD=(1)/(2)AD•CE=(1)/(2)×3×2=3，
∴S_△ACP=S_{四边形APCD}-S_△ACD=(9√(3))/(4)+6-3=(9√(3))/(4)+3．
故答案为：(9√(3))/(4)+3．