设f（x），g（x）在x0的某邻域内具有二阶连续导数，曲线y=f（x）和y=g（x）具有相同凹凸性．证明曲线y=f（x）和y=g（x）在点（x0，y0）处相交，相切且有相同的曲率圆（曲率不为零）的充要

Question

设f（x），g（x）在x₀的某邻域内具有二阶连续导数，曲线y=f（x）和y=g（x）具有相同凹凸性．证明曲线y=f（x）和y=g（x）在点（x₀，y₀）处相交，相切且有相同的曲率圆（曲率不为零）的充要条件是当x→x₀时，f（x）-g（x）是比（x-x₀）²高阶的无穷小．

Answer 1

先证必要性．
由已知曲线y=f（x）和y=g（x）在点（x₀，y₀）处相交，相切，可知：
f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）．
又因为两曲线在点（x₀，y₀）处有相同的凹凸性和相同的曲率圆，
故f″（x₀）和g″（x₀）同号，且(|f″(x0)|)/([1+f′(x0)2]3/2)＝(|g″(x0)|)/([1+g′(x0)2]3/2)，
从而f″（x₀）=g″（x₀）．
于是，

lim

x→x0

(f(x)−g(x))/((x−x0)2)＝

lim

x→x0

(f′(x)−g′(x))/(2(x−x0))＝(1)/(2)

lim

x→x0

[f″(x0)−g″(x0)]＝0．
因此，当x→x₀时，f（x）-g（x）是比(x−x0)2高阶的无穷小．
再证充分性．
由于

lim

x→x0

(f(x)−g(x))/((x−x0)2)＝0，
故

lim

x→x0

[f(x)−g(x)]＝f(x0)−g(x0)＝0，
所以曲线y=f（x）和y=g（x）在点（x₀，y₀）处相交．
又因为

lim

x→x0

(f(x)−g(x))/((x−x0)2)＝

lim

x→x0

(f(x)−f(x0)−[g(x)−g(x0)])/((x−x0)2)=

lim

x→x0

(f(x)−f(x0))/(x−x0)−

作业帮用户 2017-09-21

问题解析

本题可用泰勒展开式进行证明．把“相交”、“相切”和“有相同的曲率圆”利用数学式正确的表达出来即能得证．

名师点评

本题考点：

泰勒公式在近似计算中的应用．

考点点评：

本题综合考查了曲线相交、相切的定义与判断、曲线凸凹性的判断、曲率的计算以及泰勒公式在近似计算中的应用，具有较强的综合性，计算量较大，需要熟练掌握相关知识点以及较强的综合运用的能力．

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