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f(z)=u+iv在区域D内解析且有u=v^2,求证f(z)在D内是常数
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f(z)=u+iv在区域D内解析且有u=v^2,求证f(z)在D内是常数
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答案和解析
用Cauchy-Riemann方程.以下用a表示偏微分算子：av/ax表示v对x的偏导.
au/ax=av/ay,u=v^2代入得 2vav/ax=av/ay；
au/ay=-av/ax,u=v^2代入得2vav/ay=-av/ax；
两个方程可用代入法联立解得av/ax=av/ay=0.
于是v是常数.u=v^2是常数,故f=u+iv是常数.
au/ax=av/ay,u=v^2代入得 2vav/ax=av/ay；
au/ay=-av/ax,u=v^2代入得2vav/ay=-av/ax；
两个方程可用代入法联立解得av/ax=av/ay=0.
于是v是常数.u=v^2是常数,故f=u+iv是常数.
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