设函数f（x）=2lnx-x2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+x2-x-2-a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Question

设函数f（x）=2lnx-x²．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若关于x的方程f（x）+x²-x-2-a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=(2(1−x2))/(x)，∵x＞0，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1]．
（2）将f（x）代人方程f（x）+x²-x-2-a=0得2lnx-x-2-a=0，令g（x）=2lnx-x-2-a则g′（x）=(2−x)/(x)；
∴x∈[1，2）时，g′（x）＞0；x∈（2，3]时，g′（x）＜0；
∴g（2）是g（x）的极大值，也是g（x）在[1，3]上的最大值；
∵关于x的方程f（x）+x²-x-2-a=0在区间[1，3]内恰有两个相异实根；
∴函数g（x）在区间[1，3]内有两个零点；则有：g（2）＞0，g（1）＜0，g（3）＜0，所以有：

2ln2−4−a＞0

−3−a＜0

2ln3−5−a＜0

解得：2ln3-5＜a＜2ln2-4，所以a的取值范围是（2ln3-5，2ln2-4）．