设函数f(x)在区间（0,+∞）上有定义,f'(1)=a(a非零常数）且任意x,y∈（0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x)

Question

设函数f(x)在区间（0,+∞）上有定义,f'(1)=a(a非零常数）且任意x,y∈（0,+∞),有f(xy)=f(x)+f(y),求f(x)

Answer 1

用导数的定义,对任意的x>0,f(x+△x)-f(x)=f(x*(1+△x/x))-f(x)=xf(1+△x/x)+△x/x*f(x),所以[f(x+△x)-f(x)]/△x→f'(1)+f(x)/x（△x→0）,得到微分方程f'(x)=a+f(x)/x,初始条件是f'(1)=a,解得f(x)=axlnx