早教吧作业答案频道 -->数学-->
f(x)在开区间(a,b)上连续,且limx→a+=-∞,limx→b-=-∞,证明:f(x)在开区间(a,b)内有最大值.原题这里错了,应该是这样:limx→a+f(x)=-∞,limx→b-f(x)=-∞
题目详情
f(x)在开区间(a,b)上连续,且lim x→a+ = -∞ ,lim x→b- = -∞,证明:f(x)在开区间(a,b)内有最大值.
原题这里错了,应该是这样:lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
原题这里错了,应该是这样:lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
▼优质解答
答案和解析
用反证法
假设f(x)在开区间(a,b)内没有最大值
即存在一点x0,aA
因为f(x)在开区间(a,b)上连续,lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
所以在(a,x1]中存在数a1、a2、……、an,使得f(a1)=f(a2)=……=f(an)=A,在[x1,b)中存在数b1、b2、……、bm,使得f(b1)=f(b2)=……=f(bm)=A,
设a0=min{a1、a2、……、an},b0=max{b1、b2、……、bm}
则在[a0,b0]这个闭区间上f(x)连续且没有最大值,就是无界.这和在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.矛盾
假设f(x)在开区间(a,b)内没有最大值
即存在一点x0,aA
因为f(x)在开区间(a,b)上连续,lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
所以在(a,x1]中存在数a1、a2、……、an,使得f(a1)=f(a2)=……=f(an)=A,在[x1,b)中存在数b1、b2、……、bm,使得f(b1)=f(b2)=……=f(bm)=A,
设a0=min{a1、a2、……、an},b0=max{b1、b2、……、bm}
则在[a0,b0]这个闭区间上f(x)连续且没有最大值,就是无界.这和在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.矛盾
看了 f(x)在开区间(a,b)上...的网友还看了以下:
高数:若f(x),g(x)在[a,b]区间连续,F(x)=[a,x定积分区间]g(x)d(x)*[ 2020-06-07 …
高数:若f(x)在[a,b]区间连续,F(x)=[a,x定积分区间]f(x)d(x)+[b,x定积 2020-06-07 …
持续和连续的区别()填入下列括号中的词语,最恰当的一项是:可是良善的作用却是单纯而不断的.它不会产 2020-06-08 …
罗尔定理的条件有区间内可导那为什么还要多出区间内连续可导必连续.那区间连续这条件不就多余了吗 2020-06-19 …
有界与最值的问题闭区间上单调函数必有界,为什么不说必有最大值,最小值.有界是否可在整个区间上来说明 2020-06-23 …
判断:若函数在(a,b)上连续,在x=a处右连续,在x=b处左连续,则函数在闭区间a,b连续 2020-07-31 …
f(x)在开区间(a,b)上连续,且limx→a+=-∞,limx→b-=-∞,证明:f(x)在开 2020-07-31 …
函数在开区间(a,b)上连续是否在开区间(a,b)上一定一致连续?开区间与闭区间的区别若是不能可以 2020-08-01 …
高数证明问题1.设函数f(x)在闭区间[0,A]上连续,且f(0)=0,如果f'(x)存在且为增函 2020-08-01 …
拉格朗日中值定理推广拉格朗日中值定理:若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:(1)在[a,b] 2020-11-22 …