早教吧作业答案频道 -->数学-->
f(x)在开区间(a,b)上连续,且limx→a+=-∞,limx→b-=-∞,证明:f(x)在开区间(a,b)内有最大值.原题这里错了,应该是这样:limx→a+f(x)=-∞,limx→b-f(x)=-∞
题目详情
f(x)在开区间(a,b)上连续,且lim x→a+ = -∞ ,lim x→b- = -∞,证明:f(x)在开区间(a,b)内有最大值.
原题这里错了,应该是这样:lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
原题这里错了,应该是这样:lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
▼优质解答
答案和解析
用反证法
假设f(x)在开区间(a,b)内没有最大值
即存在一点x0,aA
因为f(x)在开区间(a,b)上连续,lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
所以在(a,x1]中存在数a1、a2、……、an,使得f(a1)=f(a2)=……=f(an)=A,在[x1,b)中存在数b1、b2、……、bm,使得f(b1)=f(b2)=……=f(bm)=A,
设a0=min{a1、a2、……、an},b0=max{b1、b2、……、bm}
则在[a0,b0]这个闭区间上f(x)连续且没有最大值,就是无界.这和在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.矛盾
假设f(x)在开区间(a,b)内没有最大值
即存在一点x0,aA
因为f(x)在开区间(a,b)上连续,lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
所以在(a,x1]中存在数a1、a2、……、an,使得f(a1)=f(a2)=……=f(an)=A,在[x1,b)中存在数b1、b2、……、bm,使得f(b1)=f(b2)=……=f(bm)=A,
设a0=min{a1、a2、……、an},b0=max{b1、b2、……、bm}
则在[a0,b0]这个闭区间上f(x)连续且没有最大值,就是无界.这和在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.矛盾
看了 f(x)在开区间(a,b)上...的网友还看了以下:
高阶求导,求f(x)=xsinx,求f^(100)(x);f(x)=x^2sin2x,求f^(50 2020-04-09 …
1已知f(x)的定义域为[a,b],且a+b>0,求下列函数的定义域.(1)f(x的平方)(2)F 2020-04-27 …
1.设函数x^2+y^2≠0时,f(x,y)=xy/x^2+y^2;当x^2+y^2=0时,f(x 2020-06-12 …
证:f(x)是R上的函数,则f(x)在其上连续的充要条件是:对任意开集G,点集f∧(-1)(G)= 2020-06-22 …
设f(X)在区间(-∞,+∞)上存在二阶导数,f(x)0,根据泰勒公式f(x)=f(0)+f'(0 2020-08-03 …
将函数f(x)=ln(2+x)展开成x的幂级数不同展开方法结果不一样?第一种:f'(x)=1/(2 2020-08-03 …
将f(x)按迈克劳林展开=f(0)+f'(0)x+1/2*f''(ξ)x^2,对积分∫1/2*f'' 2020-11-02 …
将下面函数展开成x+1的幂级数f(x)=xarctanx-1/2ln(1+x2)补充--最后对数函数 2020-11-17 …
关于泰勒公示展开求证:已知f(x)在[a,b]存在二阶导数,f'(a)=f'(b)=0,则在存在c∈ 2020-11-23 …
求分别满足下列条件的函数f(x)的解析式I)f(x)+2f(1/x)=x(II)f(x)-xf(-x 2021-01-07 …