f(x)在开区间(a,b)上连续,且limx→a+=-∞,limx→b-=-∞,证明：f(x)在开区间(a,b)内有最大值.原题这里错了，应该是这样：limx→a+f(x)=-∞,limx→b-f(x)=-∞

Question

f(x)在开区间(a,b)上连续,且lim x→a+ = -∞ ,lim x→b- = -∞,证明：f(x)在开区间(a,b)内有最大值.
原题这里错了，应该是这样：lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞

Answer 1

用反证法
假设f(x)在开区间(a,b)内没有最大值
即存在一点x0,aA
因为f(x)在开区间(a,b)上连续,lim x→a+f(x) = -∞ ,lim x→b-f(x) = -∞
所以在（a,x1]中存在数a1、a2、……、an,使得f(a1)=f(a2)=……=f(an)=A,在[x1,b)中存在数b1、b2、……、bm,使得f(b1)=f(b2)=……=f(bm)=A,
设a0=min{a1、a2、……、an},b0=max{b1、b2、……、bm}
则在[a0,b0]这个闭区间上f(x)连续且没有最大值,就是无界.这和在闭区间上的连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.矛盾