如图，在区间[0，1]上给定曲线y=x2，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S1+S2最小．

Question

如图，在区间[0，1]上给定曲线y=x²，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S₁+S₂最小．

Answer 1

S1＝t•t2−

∫

t 0

x2dx＝(2)/(3)t3，
S2＝

∫

1 t

x2dx−t2(1−t)＝(2)/(3)t3−t2+(1)/(3)…（4分）
∴S＝S1+S 2＝(4)/(3)t3−t2+(1)/(3)(0＜t≤1)…（6分）
S′(t)＝4t2−2t＝4t(t−(1)/(2))
令S′（t）=0，得t＝(1)/(2)或t=0（舍去）
当0＜t＜(1)/(2)时，S′（t）＜0；当(1)/(2)＜t≤1时，S′（t）＞0；
∴当t∈(0，(1)/(2)]时，S（t）为减函数，当t∈((1)/(2)，1]时，S（t）为增函数…（10分）
所以，当t＝(1)/(2)时，Smin＝S((1)/(2))＝(1)/(4)…（12分）