无穷大与无界函数有什么区别吗?我怎么觉得是一样的啊,差不多啊,可书上又说有区别.究竟它两有什么不同啊?

Question

无穷大与无界函数有什么区别吗?我怎么觉得是一样的啊,差不多啊,可书上又说有区别.究竟它两有什么不同啊?

Answer 1

若 ,则根据无穷大的定义,对于任意的正数 ,有 ,当 时,恒有 ,这表明对于 的去心邻域里的一切点 ,都必有 .
若 在 的去心邻域里无界,则对于无论多么大的正数 ,都存在点 属于该邻域,使得 ,这表明在 的去心邻域里,可能出现点 ,使得 .对比上述定义得知,在自变量的同一个变化过程中,无穷大量一定是无界量,但无界量未必是无穷大量. 例如,在区间 上, 是无界量,但是当 时, 不是无穷大量.
无界是指没有界限,但是并没有一个趋势
无穷大是有确定趋势的
你也可以从定义上把它们区分开
例如：
自然数列1,2,.,n,.在n增大的过程中稳定地趋于正无穷,它的通项是无穷大.
数列1,0,2,0,.,n,0,.在n增大的过程中肯定是无界的,但不是无穷大,因为无穷大要求从某一项开始后面的所有项都要大于某个大正数M,这个数列办不到这点.
无穷大一定无界,无界不见得是无穷大.
补充说明：上面的例子不是特例,一般来说无界而又不是无穷大的变量都是由于它们时大时小,不能稳定地趋于无穷.