无穷大的疑问f(x)=(1/x)*cos(1/x)在0的去心领域内是无界的,但为什么它不是在x趋近于0处是无穷大

Question

无穷大的疑问
f(x)=(1/x)*cos(1/x) 在0的去心领域内是无界的,但为什么它不是在x趋近于0处是无穷大

Answer 1

其实f(x)=(1/x)*cos(1/x),当x->0时,f(x)不存在.
这是因为,
lim (1/x)*cos(1/x)
x->0
=lim y*cos(y)--------------(*)式
y->∞
上式是函数的极限,由归结原则知道,函数极限可以化为数列极限.
现由上式,y->∞中,取两组y->∞的点列,{Yn}和{Yn'}
令
Yn=2πk (k=0,1,2,3,.)
Yn'=2πk+π/2 (k=0,1,2,3,.)
知,当k->∞,Yn->∞,Yn'->∞
于是,把(*)式中的y分别换成Yn和Yn'得:
(1)把y换成Yn时,有
lim y*cos(y）
y->∞
=lim 2πk*cos(2πk)
k->∞
= lim 2πk*1 = 2πk->∞ (k->∞)
（2）把y换成Yn'时,有
lim y*cos(y）
y->∞
=lim (2πk+π/2)*cos(2πk+π/2)
k->∞
=lim (2πk+π/2)*0 = 0 (k->∞)
由上面知,取的两个序列Yn,Yn'虽然都->∞,但是这时的f(Yn)和f(Yn')确极限不同,故由归结原则知：
lim y*cos(y）极限不存在,即
y->∞
lim (1/x)*cos(1/x) 极限不存在
x->0
证明完毕!