若函数f（x）在区间[a，b]上有界，给出证明f（x）在[a，b]上Riemann和的极限limλ(△)→0ni=1f（ξi）（xi-xi-1）收敛的Cauchy准则．

Question

若函数f（x）在区间[a，b]上有界，给出证明f（x）在[a，b]上Riemann和的极限

lim

λ(△)→0

n

i=1

f（ξ_i）（x_i-x_i-1）收敛的Cauchy准则．

Answer 1

证明：因为函数f（x）在区间[a，b]上有界，
所以对任意ε>0，存在δ>0，
对任意分割0=x₀12<…n=b，
任取ξ_i∈[x_i-1，x_i]，i=1，2，…n，
对任意分割0=y₀12<…N=b，
任取η_j∈[y_j-1，y_j]，j=1，2，…，N，
当max{|x_i-x_i-1|，i=1，2，…，n}<δ，
max{|y_j-y_j-1|，j=1，2，…，N}<δ时，
都有|

n

i=1

f(ξi)(xi-xi-1)-

N

j=1

f(ηj)(yj-yj-1)|<ε，
所以得证．