Dirichlet函数为什么在[0,1]上有界,但不可积,能否再找出一个函数来说明这一问题

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Dirichlet 函数为什么在[0,1] 上有界,但不可积,能否再找出一个函数来说明这一问题

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答案和解析

定积分的定义要求无论区间如何划分,每个小区间上的点如何取,得到的和式的极限都得存在.而对Dirichlet函数,对区间的分法相同的情况下,每个小区间的点的取法不同得到的和式的极限是不同的,违背定积分存在的定义.
Dirichlet函数的出现以前,人们认为所有的有界函数的定积分都是存在的.它的出现使人们对函数可积性有了清晰的认识.
当然这个函数是认为构造的,涉及数学的最基本的对象----实数.如果你了解了这个函数以后,自己很容易构造出新的有界不可积函数.

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