收敛一定有界、但有界不一定收敛。请各举出一个例子？指数函数2^X在X趋于正无穷时，算收敛么？算的话，在一定区域内，是有界么？

Question

收敛一定有界、但有界不一定收敛。请各举出一个例子？指数函数2^X在X趋于正无穷时，算收敛么？算的话，在一定区域内，是有界么？

Answer 1

(1) 收敛一定有界，因为收敛会逐渐逼近一个确定值，因此在收敛方向上一定有界；
如 f(x) = e^(-x) *sinx 当x趋近正无穷时；
(2) 有界不一定收敛，可以在边界内跳跃或震荡；
例如 f(x)=sinx 有界，|f(x)|<=1，但是当x趋近正无穷时，却不收敛。
(3) 指数函数 f(x) = 2^x，当x趋近正无穷时，f(x)趋近正无穷，函数无界，就更不会收敛了；
这相当于(1)的逆否命题；